Что такое входной поток. Очередь и дисциплины ее обслуживания

Основные элементы СМО

Торговый центр представляет собой однофазную многоканальную систему с одной очередью конечной длины. При заполнении очереди заявка получает отказ. Целью решения задачи моделирования является определение оптимального количества приборов обслуживания, чтобы среднее время пребывания заявки в системе не превышало заданное.

Структуру СМО можно представить таким образом:

Системой массового обслуживания называется система, на которую в случайные моменты времени приходят заявки, нуждающиеся в том или ином виде обслуживания. В данном случае, при моделировании торгового центра роль заявок играют покупатели, а роль приборов продавцы.

Любая система включает в себя 4 основные элемента :

1) входной поток

2) очередь и дисциплины обслуживания

3) прибор и канал обслуживания

4) выходной поток

Входной поток

В процессе функционирования, на вход обслуживающего прибора в неизвестные заранее моменты времени поступают заявки, которые обслуживаются в течение некоторого случайного отрезка времени, после чего прибор освобождается и может принять следующую заявку. Если заявка пришла, когда прибор занят, то она получает отказ в обслуживании и встает в очередь. Из-за случайного характера потока заявок в какие-то моменты времени в системе могут возникать большие очереди, а в другие система может работать с недогрузкой или вообще простаивать. Поэтому возникают задачи количественной оценки эффективности таких систем, обеспечивающих минимизацию суммарных затрат, связанных с ожиданием и потерями со стороны средств обслуживания.

Входной поток может быть одномерным и многомерным. Если на вход системы подается несколько разных потоков, то он является многомерным. Любой входной поток представляется последовательностью однородных событий, следующих одно за другим в случайные моменты времени. Интервал между двумя событиями называется интервалом поступления заявок.

Если интервал поступления заявок является случайной величиной, т.е. изменяется по случайному закону распределения, то поток называется случайным.

Поток называется простейшим или стационарным Пуассоновским потоком, если он обладает 3 свойствами:

1) стационарность

2) безпоследействие

3) ординарность

Стационарность означает, что все вероятностные характеристики потока не зависят от времени. Безпоследействие означает, что события не зависят от предыстории. Ординарность - все заявки проходят по одиночке.

Очередь и дисциплины ее обслуживания

Под очередью понимают линейную цепочку, выстраивающихся в ряд заявок в том или ином виде обслуживания. В зависимости от наличия очереди, СМО разделяются на системы без очереди и системы с ожиданием.

СМО без очереди - это системы, в которых поступившая заявка получает отказ в случае занятости прибора обслуживания.

СМО с ожиданием бывают ограниченными и неограниченными ожиданием. В системах с неограниченным ожиданием поступившая заявка рано или поздно будет обслужена. В системах с ограниченным ожиданием на время пребывания заявок в системе накладывается ряд ограничений, касающихся времени пребывания заявок в очереди, времени пребывания заявок в системе и т.д.

Для регулирования и координации работы очереди используются дисциплины:

1) дисциплина заполнения очереди

2) дисциплина выбора заявок из очереди

К дисциплинам заполнения очереди относятся:

1) естественная форма заполнения

2) кольцевая форма заполнения

3) поисковая форма

4) приоритетная форма заполнения, со сдвигом других заявок

Дисциплины выбора заявок из очереди включают 3 типа:

1) первым пришел - первым обслужен

2) последним пришел - первым обслужен

3) выбор заявок по приоритету

По характеру входной поток требований разделяется на детерминированный поток требований и стохастический (рис.2).

Детерминированный входной поток может быть двух видов. В первом случае требования поступают через равные промежутки времени. Другим видом детерминированного потока является поток, в котором требования поступают по известной программе - расписанию, когда моменты поступления новых требований известны заранее.

Рис.2. Классификация входного потока

Если промежутки времени между поступлениями требований случайны, то это будет стохастический процесс.

Стохастический поток требований подразделяется на три вида: поток с произвольными стохастическими свойствами, рекуррентный поток и совершенно случайный или пуассоновский поток требований.

Произвольный поток требований характеризуется тем, что на него не накладывается никаких ограничений на стохастическую независимость интервалов между поступлениями требований, а также на характер вероятностных законов, описывающих интервалы между требованиями.

Входной поток называется рекуррентным, если он характеризуется следующими свойствами:

продолжительность интервалов между поступлениями требований стохастически независимы;
продолжительность интервалов описывается одной и той же плотностью распределения.

Входной поток называется совершенно случайным или простейшим, если для него характерно:

продолжительность интервалов между поступлениями требований статистически независимы;
продолжительность интервалов описывается одной и той же плотностью распределения;
вероятность поступления требований на достаточно малом интервале Δt зависит только лишь от величины Δt (это свойство называется стационарностью или однородностью прихода);
вероятность поступления требований на интервале Δt не зависит от предыстории процесса;
характер потока требований таков, что в любой момент времени может поступить только одно требование.

Таким образом, простейший поток требований или совершенно случайный поток - это поток, определяющейся свойствами стационарности, ординарности и отсутствием последствия одновременно.

Предположения о совершенно случайном входном потоке требований эквивалентно тому, что плотность распределения интервалов времени между последовательными поступлениями требований описывается экспоненциальным законом:

(1.1)

где λ - интенсивность поступления заявок в систему.

Если интервалы распределены по экспоненциальному закону, то процесс пуассоновский. Такие процессы называются М-процессами (Марковскими).

Кроме закона Пуассона часто применяется закон распределения Эрланга.

(1.2)

СМО с отказами

Одноканальная СМО содержит один канал (n = 1), и на ее вход поступает пуассоновский поток заявок П вх интенсивность (среднее число событий в единицу времени) которого inП вх =λ. Так как интенсивность входящего потока может изменяться во времени, то вместо λ записывают λ (t). Тогда время обслуживания каналом одной заявки Т об распределено по показательному закону и записывается в виде: , где λ - интенсивность отказов.

Состояние СМО характеризуется простаиванием или занятостью ее канала, т.е. двумя состояниями: S 0 - канал свободен и простаивает, S 1 - канал занят. Переход системы из состояния S 0 в состояние S 1 осуществляется под воздействием входящего потока заявок П вх, а из состояния S 1 в состояние S 0 систему переводит поток обслуживании П об: если в данный момент времени система находится в некотором состоянии, то с наступлением первого после данного момента времени СМО переходит в другое состояние. Плотности вероятностей перехода из состояния S 0 в S 1 и обратно равны соответственно λ и µ. Граф состояний подобной СМО с двумя возможными состояниями приведен на рис.3.

Рис.3. Граф состояний одноканальной СМО с отказами.

Для многоканальной СМО с отказами (n > 1) при тех же условиях состояния системы обозначим по числу занятых каналов (по числу заявок, находящихся в системе под обслуживанием, так как каждый канал в СМО либо свободен, либо обслуживает только одну заявку).

Таким образом, подобная СМО может находиться в одном из следующих (n+1) состояний: s 0 - все n каналов свободны; s 1 - занят только один из каналов, остальные (n-1) каналов свободны; s i - заняты i - каналов, (n-i) каналов свободны; s n - заняты все n каналов. Граф состояний такой СМО приведен на рис.4.

Рис.4. Граф состояний многоканальной СМО с отказами.

При этом имеет место а

Пользуясь общим правилом составления дифференциальных уравнений Колмогорова, можно для приведенных на рис.2 и рис.3 графов состояний составить системы дифференциальных уравнений:

например, для одноканальной СМО (рис.2) имеем:

для многоканальной СМО (рис.3) соответственно имеем:

Решив первую систему уравнений, можно найти значения p 0 (t) и p 1 (t) для одноканальной СМО и построить графики при трех случаях:

СМО с ожиданием

Система массового обслуживания имеет один канал. Входящий поток заявок на обслуживание - простейший поток с интенсивностью λ. Интенсивность потока обслуживания равна µ (т.е. в среднем непрерывно занятый канал будет выдавать µ обслуженных заявок). Длительность обслуживания - случайная величина, подчиненная показательному закону распределения. Поток обслуживаний является простейшим пуассоновским потоком событий. Заявка, поступившая в момент, когда канал занят, становится в очередь и ожидает обслуживания.

Предположим, что независимо от того, сколько требований поступает на вход обслуживающей системы, данная система (очередь + обслуживаемые клиенты) не может вместить более N-требований (заявок), т.е. клиенты, не попавшие в ожидание, вынуждены обслуживаться в другом месте. Наконец, источник, порождающий заявки на обслуживание, имеет неограниченную (бесконечно большую) емкость. Граф состояний СМО в этом случае имеет вид, показанный на рис.6.

Рис.6. Граф состояний одноканальной СМО с ожиданием

Состояния СМО имеют следующую интерпретацию:

S 0 - канал свободен;

S 1 - канал занят (очереди нет);

S 2 - канал занят (одна заявка стоит в очереди);

S n - канал занят (n-1 заявок стоит в очереди);

S N - канал занят (N-1 заявок стоит в очереди).

Стационарный процесс в данной системе будет описываться следующей системой алгебраических уравнений:

(1.11)

где ρ=λ/µ; n - номер состояния.

Решение приведенной выше системы уравнений (1.10) для нашей модели СМО имеет вид:

(1.12)

(1.13)

Следует отметить, что выполнение условия стационарности для данной СМО необязательно, поскольку число допускаемых в обслуживающую систему заявок контролируется путем введения ограничения на длину очереди (которая не может превышать N-1), а не соотношением между интенсивностями входного потока, т.е. не отношением λ/µ=ρ. Определим характеристики одноканальной СМО с ожиданием и ограниченной длиной очереди, равной (N-1): вероятность отказа в обслуживании заявки:

(1.14)

относительная пропускная способность системы:

(1.15)

абсолютная пропускная способность:

среднее число находящихся в системе заявок:

(1.17)

среднее время пребывания заявки в системе:

средняя продолжительность пребывания клиента (заявки) в очереди:

(1.19)

среднее число заявок (клиентов) в очереди (длина очереди):

. (1.20) .

Теперь рассмотрим более подробно СМО, имеющую n-каналов с неограниченной очередью. Поток заявок, поступающих в СМО, имеет интенсивность λ, а поток обслуживаний - интенсивность µ. Необходимо найти предельные вероятности состояний СМО и показатели ей эффективности.

Система может находиться в одном состоянии S 0 , S 1 , S 2 ,…,S k ,…,S n ,…, нумеруемых по числу заявок, находящихся в СМО: S0 - в системе нет заявок (все каналы свободны); S 1 - занят один канал, остальные свободны; S 2 - заняты два канала, остальные свободны; …, S k - занято k каналов, остальные свободны; …, S n - заняты все n каналов (очереди нет); S n +1 - заняты все n каналов, в очереди одна заявка; …, S n + r - заняты все n каналов, r заявок стоит в очереди, ….

среднее число заявок в очереди:

(1.32)

среднее число заявок в системе:

(1.31) .

С каждым отрезком времени [a,a+T ], свяжем случайную величину Х , равную числу требований, поступивших в систему за время Т .

Поток требований называется стационарным , если закон распределения не зависит от начальной точки промежутка а , а зависит только от длины данного промежутка Т .

Например, поток заявок на телефонную станцию в течение суток (Т =24 часа) нельзя считать стационарным, а вот с 13 до 14 часов (Т =60 минут) – можно.

Поток называется без последействия , если предыстория потока не влияет на поступления требований в будущем, т.е. требования не зависят друг от друга.

Поток называется ординарным , если за очень короткий промежуток времени в систему может поступить не более одного требования.

Например, поток в парикмахерскую – ординарный, а в ЗАГС – нет. Но, если в качестве случайной величины Х рассматривать пары заявок, поступающих в ЗАГС, то такой поток будет ординарным (т.е. иногда неординарный поток можно свести к ординарному).

Поток называется простейшим , если он стационарный, без последействия и ординарный.

Основная теорема . Если поток – простейший, то с.в. Х распределена по закону Пуассона, т.е. .

Следствие 1 . Простейший поток также называется пуассоновским.

Следствие 2. M(X)=M(Х[ a, a+T ] )=lT , т.е. за время Т в систему в среднем поступает lT заявок. Следовательно, за одну единицу времени в систему поступает в среднем l заявок. Эта величина и называется интенсивностью входного потока.

При решении задач управления, в том числе и управления войсками, часто возникает ряд однотипных задач:

оценка пропускной способности направления связи, железнодорожного узла, госпиталя и т. п.;
оценка эффективности ремонтной базы;
определение количества частот для радиосети и др.

Все эти задачи однотипны в том смысле, что в них присутствует массовый спрос на обслуживание. В удовлетворении этого спроса участвует определенная совокупность элементов, образующая систему массового обслуживания (СМО) (рис. 2.9).

Элементами СМО являются:

входной (входящий) поток требований (заявок) на обслуживание;
приборы (каналы) обслуживания;
очередь заявок , ожидающих обслуживания;
выходной ( выходящий) поток обслуженных заявок;
поток не обслуженных заявок;
очередь свободных каналов (для многоканальных СМО).

Входящий поток - это совокупность заявок на обслуживание. Часто заявка отождествляется с ее носителем. Например, поток неисправной радиоаппаратуры, поступающий в мастерскую объединения, представляет собой поток заявок - требований на обслуживание в данной СМО.

Как правило, на практике имеют дело с так называемыми рекуррентными потоками, - потоками, обладающими свойствами:

стационарности;
ординарности;
ограниченного последействия.

Первые два свойства мы определили ранее. Что касается ограниченного последействия, то оно заключается в том, что интервалы между поступающими заявками являются независимыми случайными величинами.

Рекуррентных потоков много. Каждый закон распределения интервалов порождает свой рекуррентный поток . Рекуррентные потоки иначе называют потоками Пальма.

Поток с полным отсутствием последействия, как уже отмечалось, называется стационарным пуассоновским. У него случайные интервалы между заявками имеют экспоненциальное распределение:

здесь - интенсивность потока.

Название потока - пуассоновский - происходит от того, что для этого потока вероятность появления заявок за интервал определяется законом Пуассона:

Поток такого типа, как отмечалось ранее, называют также простейшим. Именно такой поток предполагают проектировщики при разработке СМО. Вызвано это тремя причинами.

Во-первых , поток этого типа в теории массового обслуживания аналогичен нормальному закону распределения в теории вероятностей в том смысле, что к простейшему потоку приводит предельный переход для потока, являющегося суммой потоков с произвольными характеристиками при бесконечном увеличении слагаемых и уменьшении их интенсивности. То есть сумма произвольных независимых (без преобладания) потоков с интенсивностями является простейшим потоком с интенсивностью

Во-вторых , если обслуживающие каналы (приборы) рассчитаны на простейший поток заявок, то обслуживание других типов потоков (с той же интенсивностью) будет обеспечено с не меньшей эффективностью.

В-третьих , именно такой поток определяет марковский процесс в системе и, следовательно, простоту аналитического анализа системы. При других потоках анализ функционирования СМО сложен.

Часто встречаются системы, у которых поток входных заявок зависит от количества заявок, находящихся в обслуживании. Такие СМО называют замкнутыми (иначе - разомкнутыми ). Например, работа мастерской связи объединения может быть представлена моделью замкнутой СМО. Пусть эта мастерская предназначена для обслуживания радиостанций, которых в объединении . Каждая из них имеет интенсивность отказов . Входной поток отказавшей аппаратуры будет иметь интенсивность :

где - количество радиостанций, уже находящихся в мастерской на ремонте.

Заявки могут иметь разные права на начало обслуживания. В этом случае говорят, что заявки неоднородные . Преимущества одних потоков заявок перед другими задаются шкалой приоритетов.

Важной характеристикой входного потока является коэффициент вариации :

где - математическое ожидание длины интервала;

Среднеквадратическое отклонение случайной величины (длины интервала) .

Для простейшего потока

Для большинства реальных потоков .

При поток регулярный, детерминированный.

Коэффициент вариации - характеристика, отражающая степень неравномерности поступления заявок.

Каналы (приборы) обслуживания . В СМО могут быть один или несколько обслуживающих приборов (каналов). Согласно с этим СМО называют одноканальными или многоканальными.

Многоканальные СМО могут состоять из однотипных или разнотипных приборов. Обслуживающими приборами могут быть:

линии связи;
мастера ремонтных органов;
взлетно-посадочные полосы;
транспортные средства;
причалы;
парикмахеры, продавцы и др.

Основная характеристика канала - время обслуживания. Как правило, время обслуживания - величина случайная.

Обычно практики полагают, что время обслуживания имеет экспоненциальный закон распределения:

где - интенсивность обслуживания, ;

Математическое ожидание времени обслуживания.

То есть процесс обслуживания - марковский, а это, как теперь нам известно, дает существенные удобства в аналитическом математическом моделировании.

Кроме экспоненциального встречаются -распределение Эрланга, гиперэкспоненциальное, треугольное и некоторые другие. Это нас не должно смущать, так как показано, что значение критериев эффективности СМО мало зависят от вида закона распределения вероятностей времени обслуживания.

При исследовании СМО выпадает из рассмотрения сущность обслуживания, качество обслуживания .

Каналы могут быть абсолютно надежными , то есть не выходить из строя. Вернее, так может быть принято при исследовании. Каналы могут обладать конечной надежностью . В этом случае модель СМО значительно сложнее.

Очередь заявок . В силу случайного характера потоков заявок и обслуживания пришедшая заявка может застать канал (каналы) занятым обслуживанием предыдущей заявки. В этом случае она либо покинет СМО не обслуженной, либо останется в системе, ожидая начало своего обслуживания. В соответствии с этим различают:

СМО с отказами;
СМО с ожиданием.

СМО с ожиданием характеризуются наличием очередей. Очередь может иметь ограниченную или неограниченную емкость: .

Исследователя обычно интересуют такие статистические характеристики, связанные с пребыванием заявок в очереди:

среднее количество заявок в очереди за интервал исследования;
среднее время пребывания (ожидания) заявки в очереди. СМО с ограниченной емкостью очереди относят к СМО смешанного типа.

Нередко встречаются СМО, в которых заявки имеют ограниченное время пребывания в очереди независимо от ее емкости. Такие СМО также относят к СМО смешанного типа.

Выходящий поток - это поток обслуженных заявок, покидающих СМО.

Встречаются случаи, когда заявки проходят через несколько СМО: транзитная связь , производственный конвейер и т. п. В этом случае выходящий поток является входящим для следующей СМО. Совокупность последовательно связанных между собой СМО называют многофазными СМО или сетями СМО .

Входящий поток первой СМО, пройдя через последующие СМО, искажается и это затрудняет моделирование . Однако следует иметь в виду, что при простейшем входном потоке и экспоненциальном обслуживании (то есть в марковских системах) выходной поток тоже простейший . Если время обслуживания имеет не экспоненциальное распределение, то выходящий поток не только не простейший, но и не рекуррентный.

Заметим, что интервалы между заявками выходящего потока, это не то же самое, что интервалы обслуживания. Ведь может оказаться, что после окончания очередного обслуживания СМО какое-то время простаивает из-за отсутствия заявок. В этом случае интервал выходящего потока состоит из времени незанятости СМО и интервала обслуживания первой, пришедшей после простоя, заявки.

Основная задача ТСМО заключается в установлении зависимости между характером потока заявок на входе СМО, производительностью одного канала, числом каналов и эффективностью обслуживания.

В качестве критерия эффективности могут быть использованы различные функции и величины:

среднее время простоя системы;
среднее время ожидания в очереди;
закон распределения длительности ожидания требования в очереди;
средний % заявок, получивших отказ; и т.д.

Выбор критерия зависит от вида системы. Например, для систем с отказами главной характеристикой является абсолютная пропускная способность СМО; менее важные критерии - число занятых каналов, среднее относительное время простоя одного канала и системы в целом. Для систем без потерь (с неограниченным ожиданием) важнейшим является среднее время простоя в очереди, среднее число требований в очереди, среднее время пребывания требований в системе, коэффициент простоя и коэффициент загрузки обслуживающей системы.

Современная ТСМО является совокупностью аналитических методов исследования перечисленных разновидностей СМО. В дальнейшем из всех достаточно сложных и интересных методов решения задач массового обслуживания будут изложены методы, описываемые в классе марковских процессов типа “гибель и размножение”. Это объясняется тем, что именно эти методы чаще всего используются в практике инженерных расчетов.

2. Математические модели потоков событий.

2.1. Регулярный и случайный потоки.

Одним из центральных вопросов организации СМО является выяснение закономерностей, которым подчиняются моменты поступления в систему требований на обслуживание. Рассмотрим наиболее употребляемые математические модели входных потоков.

Определение: Поток требований называют однородным, если он удовлетворяет условиям:

все заявки потока с точки зрения обслуживания являются равноправными;

вместо требований (событий) потока, которые по своей природе могут быть различными, рассматриваются толь ко моменты их поступления.

Определение: Регулярным называются поток, если события в потоке следуют один за другим через строгие интервалы времени.

Функция f (х) плотности распределения вероятности случайной величины Т – интервала времени между событиями имеет при этом вид:

Где - дельта функция, М т - математическое ожидание, причем М т =Т, дисперсия D т =0 и интенсивность наступления событий в поток =1/M т =1/T.

Определение: Поток называют случайным , если его события происходят в случайные моменты времени.

Случайный поток может быть описан как случайный вектор, который, как известно, может быть задан однозначно законом распределения двумя способами:

Где, zi - значения Ti(i=1,n), В этом случае моменты наступления событий могут быть вычислены следующим образом

t 1 =t 0 +z1

t 2 =t 1 +z2

………,

где, t 0 - момент начала потока.

2.2. Простейший пуассоновский поток.

Для решения большого числа прикладных задач бывает достаточным применить математические модели однородных потоков, удовлетворяющих требованиям стационарности, без последействия и ординарности.

Определение: Поток называется стационарным, если вероятность появления n событий на интервале времени (t,t+T) зависит от его расположения на временной оси t.

Определение: Поток событий называется ординарным, если вероятность появления двух или более событий в течении элементарного интервала времени D t есть величина бесконечно малая по сравнению с вероятностью появления одного события на этом интервале, т.е. при n=2,3,…

Определение: Поток событий называетсяпотоком без последствия , если для любых непересекающихся интервалов времени число событий, попадающих на один из них, не зависит от числа событий попадающих на другой.

Определение: Если поток удовлетворяет требованиям стационарности, ординарности и без последствия он называется простейшим, пуассоновским потоком.

Доказано, что для простейшего потока число n событий попадающих на любой интервал z распределено по закону Пуассона:

(1)

Вероятность того, что на интервале времени z не появится ни одного события равна:

(2)

тогда вероятность противоположного события:

где по определению P(T это функция распределения вероятности Т. Отсюда получим, что случайная величина Т распределена по показательному закону:

(3)

параметр называют плотностью потока. Причем,

Впервые описание модели простейшего потока появились в работах выдающихся физиков начала века – А. Эйнштейна и Ю.Смолуховского, посвященных броуновскому движению.

2.3. Свойства простейшего пуассоновского потока.

Известны два свойства простейшего потока, которые могут быть использованы при решении практических задач.

2.3.1. Введем величину a= х. В соответствии со свойствами Пуассоновского распределения при оно стремится к нормальному. Поэтому для больших а для вычисления Р{Х(а)меньше, либо равно n}, где Х(а) – случайная величина распределенная по Пуассону с матожиданием а можно воспользоваться следующим приближенным равенством:

2.3.2. Еще одно свойство простейшего потока связано со следующей теоремой:

Теорема: При показательном распределении интервала времени между требованиями Т, независимо от того, сколько он длился, оставшаяся его часть имеет тот же закон распределения.

Доказательство: пусть Т распределено по показательному закону: Предположим, что промежуток а уже длился некоторое время а< Т. Найдем условный закон распределения оставшейся части промежутка Т 1 =Т-а